RELASI

A. Pengertian Relasi

       Relasi adalah hubungan antara dua elemen dua himpunan. Relasi juga dikatakan sebagai suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B. relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu.

           

            Contoh:

Ada tiga anak mengatakan makanan kesukaan nya yaitu : Anis menyukai Bakso, Rina menyukai Sate dan Diko menyukai Nasi Padang.

Dari pernyataan di atas terdapat dua himpunan yaitu :

       A= himpunan anak {Anis,Rina,Diko}

       B= himpunan makanan {Bakso. Sate, Nasi Padang}

Relasi antara anggota himpunan A ke himpunan B yang mungkin adalah menyukai atau menyenangi.

Dari contoh di atas, himpunan A disebut domain (daerah asal) dan himpunan B disebut kodomain (daerah kawan). Sementara itu menyukai disebut Relasi. Himpunan semua anggota kodomain disebut Range (daerah hasil).

B. Metode Menyatakan Relasi

            Relasi dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu:

1) Dengan himpunan pasangan berurutan

2) Dengan diagram panah

3) Dengan diagram Cartesius

4) Dengan Tabel

            Contoh:

       A = { Buyung, Doni, Vita, Putri}   dan B = { IPS, Kesenian, Keterampilan, Olahraga, Matematika, IPA, Bahasa Inggris} dan relasi yang menghubungkan antara himpunan A dan hipunan B adalah “pelajaran yang disukai”

Keterangan: Buyung suka IPS dan Kesenian, Doni suka Keterampilan dan Olahraga, Vita suka IPA, dan Putri suka Matematika dan Bahasa Inggris.

Jawaban dengan empat metode:

1) Dengan himpunan pasangan berurutan

         Himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan (x,y) dinamakan himpunan pasangan berurutan.

         {(Buyung, IPS), (Buyung, Kesenian), (Doni, Keterampilan), (Doni, Olahraga), (Vita, IPA), (Putri, Matematika), (Putri, Bahasa Inggris)}.

2) Dengan Diagram Panah

         Langkah-langkah menyatakan relasi dengan diagram panah :

a. Membuat dua lingkaran atau elips

b. Untuk meletakkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B x=A                   diletakkan pada lingkaran A dan y=B diletakkan pada lingkaran B

c. X dan Y dihubungkan dengan anak panah

d. Arah anak panah menunjukkan arah relasi

e. Anak panah tersebut mewakili aturan relasi

3) Dengan diagram Cartesius

         Pada diagram Cartesius diperlukan dua salip sumbu yaitu : sumbu mendatar (horizontal) dan sumbu tegak (vertical) yang berpotongan tegak lurus.

a. X= A diletakkan pada sumbu mendatar

b. Y= B diletakkan pada sumbu tegak

c. Pemasangan (x,y) ditandai dengan sebuah Noktah (titik) yang koordinatnya ditulis sebagai pasangan berurutan x,y.

4) Tabel

Nama	Mata Pelajaran
Buyung	IPS
Buyung	Kesenian
Doni	Keterampilan
Doni	Olahraga
Vita	IPA
Putri	Matematika
Putri	Bahasa Inggris

C. Sifat-Sifat Relasi

a. Relasi Refleksif ( Bercermin)

         Relasi disebut refleksif jika dan hanya jika untuk setiap x anggota semesta-nya, x berelasi dengan dirinya sendiri. Jadi R refleksif jika dan hanya jika xRx.

         Contoh:

Jika diketahui A= {1,2,3,4} dan relasi R= {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)} Pada A, maka R x∈A adalah refleksif, karena untuk setiap x∈A terdapat (x,x) pada R.
         Perhatikan relasi pada himpunan = {1,2,3,4} berikut:

R1= {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)}

R2= {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)}

         Relasi-relasi tersebut merupakan relasi refleksif karena memiliki elemen (1,1), (2,2), (3,3), dan (4,4).

b. Relasi Irrefleksif

         Relasi R pada A disebut Irrefleksif (anti refleksif) jika dan hanya jika setiap elemen di dalam tidak berelasi dengan dirinya sendiri. Jadi, relasi disebut sebagai irrefleksif jika dan hanya jika xRx.

         Contoh:

Diketahui himpunan B= {a,b,c} dan relasi R= {(a,c), (b,c), (b,a)}. Relasi R adalah irrefleksif, karena (a,a), (b,b), dan (c,c) bukan elemen.

Diketahui A= {1,2,3,4} dan relasi R= {(2,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)}. Relasi R merupakan relasi irrefleksif, karena tidak terdapat elemen (x,x), dimana x∈A.

c. Relasi Nonrefleksif

         Relasi R pada A disebut nonrefleksif  jika dan hanya jika ada sekurang-kurangnya satu elemen di dalam A  yang tidak berelasi dengan dirinya sendiri.

         Contoh:

Perhatikan relasi pada himpunan A= {1,2,3,}

R= {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3)}

Relasi tersebut merupakan relasi non refleksif, karena ada (1,2) dan (2,3).

d. Relasi Simetri

         Relasi R disebut simetri pada S jika dan hanya jika setiap dua anggota a dan b dari S berlaku jika a berelasi R dengan b maka b juga berelasi dengan a.

Secara simbolik: aRb → bRa.

         Contoh:

1. Relasi R = { (a,b), (b,a), (a,c), (c,a) } dalam himpunan {a, b, c}.
2. Ani menyukai Budi, Budi menyukai Ani {(Ani,Budi),(Budi,Ani)}

e. Relasi Asimetri

         Relasi R disebut asimetri pada S jika dan hanya jika setiap dua anggota a dan b dari S berlaku: jika a berelasi R dengan b maka b tidak berelasi R dengan a.

Secara simbolik: R asimetri pada S jhj (∀a,b∈S) aRb → bRa.
Contoh:
1. Relasi R = { (a,b), (b,c), (c,a) } dalam himpunan { a,b,c }.

f. Relasi Nonsimetri

         Relasi R disebut nonsimetri pada S jika dan hanya jika ada dua anggota a dan b dari S sedemikian hingga berlaku: a berelasi R dengan b tetapi b tidak berelasi R dengan a.
Perhatikan bahwa nonsimetri adalah negasi/ingkaran dari simetri.

         Contoh:

1. Relasi R = { (a,b), (a,c), (c,a) } dalam himpunan {a, b, c}

g. Relasi Antisimetri

         Relasi R disebut antisimetri pada S jika dan hanya jika setiap dua anggota a dan b dari S berlaku: jika a berelasi R dengan b dan b berelasi R dengan a maka a=b.

                  Contoh:

1. A = keluarga himpunan.

Relasi “ himpunan bagian” adalah relasi yang antisimetris pada A, karena  untuk setiap dua himpunan x dan y, jika x y dan y x, maka x = y.

2. Relasi “kurang dari atau sama dengan (≤)” dalam himpunan bilangan real. Jadi, relasi “kurang dari atau sama dengan (≤)” bersifat anti simetri, karena jika a ≤ b dan b ≤ a berarti a = b.

3. Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat asli N merupakan contoh relasi yang tidak simetri karena jika a habis membagi b, b tidak habis membagi a, kecuali jika a = b. Sementara itu, relasi “habis membagi” merupakan relasi yang anti simetri karena jika a habis membagi b dan b habis membagi a maka a = b.

h. Relasi Transitif

         R adalah relasi pada A. R disebut relasi Transitif pada A jika dan hanya jika setiap 3 anggota himpunan A, (a,b,c ∈A) jika (a,b)∈R, dan (b,c)∈R maka (a,c)∈R (setiap tiga anggota a,b,c dari A, jika a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c maka a berelasi dengan c).

         Contoh:

Relasi R = {(a,b), (b,c), (a,c), (c,c) } dalam himpunan { a,b,c }.

i. Relasi Nontransitif

         R adalah relasi pada A. R disebut relasi nontransitif pada A jika dan hanya jika ada tiga anggota himpunan A, (a,b,c ∈A) sedemikian hingga (a,b)∈R , dan (b,c)∈R dan (a,c)∉R (ada tiga anggota a,b,c dari A sedemikian hingga a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c dan a tidak berelasi dengan c).

        

         Contoh:

R = {(1,2),(2,3),(3,4)} dalam himpunan { 1,2,3,4}

j. Relasi Intransitif

         R adalah relasi pada himpunan A. R disebut relasi intransitif pada A jika dan hanya jika setiap tiga anggota himpunan A, (a,b,c ∈A) jika (a,b)∈R dan (b,c)∈R maka (a,c)∉R (setiap tiga anggota a,b,c dari A, jika a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c maka a tidak berelasi dengan c).

         Misal E = {1,2,3}, R = {(1,2),(2,3),(2,5),(3,4),(5,7)}

Relasi di atas intransitif karena :

(1,2)∈R dan (2,3)∈R, tetapi (1,3)∉R

(1,2)∈R dan (2,5)∈R, tetapi (1,5)∉R

(2,3)∈R dan (3,4)∈R, tetapi (2,4)∉R

(2,5)∈R dan (5,7)∈R, tetapi (2,7)∉R

D. Komposisi Relasi

Misalkan :

        R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B

        T adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C.

Komposisi R dan S, dinotasikan dengan T ο R, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh :

       T ο R = {(a, c)  a ∈ A, c ∈ C, dan untuk suatu b ∈ B sehingga (a, b) ∈ R dan  (b, c) ∈S }

       Contoh:

Misalkan, A = {a, b, c}, B = {2, 4, 6, 8} dan C = {s, t, u}

Relasi dari A ke B didefinisikan oleh :

        R = {(a, 2), (a, 6), (b, 4), (c, 4), (c, 6), (c, 8)}

 Relasi dari B ke C didefisikan oleh :

       T = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)}

Maka komposisi relasi R dan T adalah

        T ο R = {(a, u), (a, t), (b, s), (b, t), (c, s), (c, t), (c, u)}

DAFTAR PUSTAKA

http://www.catatanrobert.com/relasi-dan-representasinya-dengan-tabel-matriks-dan-graf-berarah/

https://adhityaramadhanblueshire.wordpress.com/2017/03/20/matematika-diskrit-relasi-dan-sifat-relasi-biner/

https://lamalamatika.wordpress.com/materi-relasi/

Munir, R. 2012. Matematika Diskrit. Revisi Kelima. Penerbit Informatika

Nama                    : Muhammad Khoirul Anam

NIM                      : 1801301042

Program Studi     : Teknik Informatika

Kelas                     : 1A

Mata Kuliah         : Matematika Diskrit

Dosen Pengampu : Winda Aprianti, M.Si.

TI Politala Matdis 1A